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  • 2018年7月19日

    《幾何原本》與初中數學教材中的公理體系

    作者: 

    《幾何原本》與初中數學教材中的公理體系?

    李文革

    歐幾里得的《幾何原本》大約成書于公元前三世紀左右,它是用公理建立起演繹體系的最早典范。兩千多年來,它一直是人們學習演繹推理的權威教材。為了使平面幾何內容使教師易教和學生易學,遵循學生的認知規律,初中數學教材對《幾何原本》中的公理體系進行了教學處理,給出了一個弱化的公理體系,讓學生感受公理化思想?!稁缀卧尽分械墓眢w系與初中數學教材中的公理體系是不完全相同的。

    一、《幾何原本》中的公理體系

    《幾何原本》分為13卷,共465個命題,涉及平面幾何、立體幾何及數論等領域。第1卷給出了23條定義、5條公設和5條公理,這些定義、公設和公理就是《幾何原本》中的公理體系證明的出發點。

    5條公設:

    (1)由任意一點到另外任意一點可以畫直線。

    (2)一條有限直線可以繼續延長。

    (3)以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

    (4)凡直角都彼此相等。

    (5)同平面內一條直線和另外兩條直線相交,若在某一側的兩個內角的和小于二直角的和,則這二直線經無限延長后在這一側相交。(與平行公理等價)

    ?

    顯然第5公設與其他公設不同,它的行文較長,遠不是那種不證自明的真理。有證據表明,歐幾里得本人在《幾何原本》第1卷的演繹證明中一直盡力避免應用這一平行公設,在前28個命題的證明過程中,他對其他公設都運用自如,而唯獨一直沒有使用第5公設。

    ?

    5條公理:

    (1)等于同量的量彼此相等。

    (2)等量加等量,其和仍相等。

    (3)等量減等量,其差仍相等。

    (4)彼此能重合的物體是全等的。

    (5)整體大于部分。

    ?

    公設是針對幾何的,公理更具一般性,不僅僅針對幾何。長期以來,人們認為公理4具有幾何特征,應歸入公設的范圍。

    ?

    二、初中數學教材中的公理體系

    《義務教育數學課程標準(2011年版)》列出了9條基本事實作為初中數學教材中的公理體系證明的出發點(如下表)。之所以稱“基本事實”,而不稱公理,其原因在于9條基本事實中大部分都是《幾何原本》中的公理體系的定理;而且這9條基本事實也不具有公理體系所應具有的獨立性、相容性和完備性?!稁缀卧尽分械墓眢w系與初中數學教材中的公理體系證明的出發點如下表所示。

    如S.S.S,初中數學教材把它作為基本事實,而《幾何原本》把它作為定理。為了證明該定理,歐幾里得采用了下列方法。

    要證明三邊對應相等的△ABC和△A′B′C′全等,只需證明兩個三角形能完全重合,即只需把某一對應邊,例如BC和B′C′重疊,證明A與A′重合即可。如圖1所示,A與A′的情況只有下列4種情況:

    (1)A和A′不包含在另一三角形中。

    (2)A和A′之一在另一三角形內部。

    (3)A和A′之一在另一三角形邊上。

    (4)A和A′重合。

    • 對于情況1,如圖2,連結A 和A′。

    因為△ABA′是等腰三角形,

    所以底角相等,即∠BAA′=∠BA′A。

    由圖2可知∠CAA′<∠BAA′=∠BA′A<∠CA′A,即

    ∠CAA′<∠CA′A。

    由于CA=CA′,

    所以∠CAA′=∠CA′A。

    于是矛盾,因此情況1不成立。

    • 對于情況2,如圖3,分別延長BA、BA′至D、E。

    因為BA=BA′,

    所以∠BAA′=∠BA′A,

    所以∠DAA′=∠EA′A。

    由圖3可知∠CAA′<∠DAA′=∠EA′A<∠CA′A,即

    ∠CAA′<∠CA′A。

    由于CA=CA′,

    所以∠CAA′=∠CA′A。

    于是矛盾,因此情況2不成立。

    • 對于情況3,顯然不成立。

    綜上,只有情況4成立,即A和A′重合。

    在歐幾里得之后約500年(3世紀),一個叫費洛的幾何學家通過把兩個三角形如圖4放置,連結AA′,利用“等邊對等角”得出∠BAC=∠BA′C,再利用S.A.S(S.A.S是第1卷的第4個命題,S.S.S是第1卷的第8個命題)證明△ABC≌△A′B′C′。

    三、《幾何原本》與初中數學教材中的

    公理體系證明舉例

    初中數學教材作為基本事實的三角形全等的三條判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S,在《幾何原本》中都是定理,其中,S.A.S是第1卷的第4個命題,S.S.S是第1卷的第8個命題,A.S.A是第1卷的第26個命題。

    在上述歐幾里得證明S.S.S的方法中,他用到“等邊對等角”這一等腰三角形的性質。在《幾何原本》中,“等邊對等角”是第1卷的第5個命題,排在作為第1卷第8個命題的S.S.S的前面,因此,歐幾里得用“等邊對等角”證明S.S.S是無可厚非的。這與初中數學教材的安排剛好相反,初中數學教材是在給出三角形全等的三條判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S后,用三角形全等的判定證明“等邊對等角”的(參見華東師大版初中數學教材八年級上冊第79頁)。

    由于在《幾何原本》中S.A.S是第1卷的第4個命題,而“等邊對等角”是第1卷的第5個命題,因此歐幾里得運用S.A.S對“等邊對等角”給出的證明如下:

    已知:如圖5,在△ABC中,AB=AC。

    求證:∠B=∠C。

    圖5

    證明思路:如圖6,在BD任取一點F,在AE上截取AG=AF,連結FC、GB。先運用A.S.A證明△AFC≌△AGB,得出∠ABG=∠ACF;再運用A.S.A證明△BCG≌△CBF,得出∠CBG=∠BCF。最后根據“等量減等量其差相等”得出∠ABC=∠ACB。

    圖6

    在歐幾里得之后約500年(3世紀),一個叫巴伯斯的人僅僅利用圖5,通過運用S.A.S證明△ABC≌△ACB,非常簡潔地得出了∠B=∠C。

    由于歐幾里得的證明復雜、難懂,這一定理以“笨人過不去的橋”著稱。之所以有此說法,一是因為歐幾里得的圖形有點像座橋;二是因為許多對幾何知識了解不深的學生都難于理解這一定理的證明,也就是無法跨過這座橋,進入《幾何原本》的其他部分的學習。

    通過《幾何原本》和初中數學教材對這一定理的不同證明,我們感受到:如果初中數學教材嚴格按照《幾何原本》的公理體系呈現,對初中學生的學習顯然會帶來很大困難。因此,《義務教育數學課程標準(2011年版)》對平面幾何內容的處理是適當的,既遵循了數學的發展規律,又遵循了教育和初中生認知發展的規律。

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